do.mrsu.ru

1 2 3 Вперед »

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЖУРИ  

3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ w-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПО КРИТЕРИЮ ДЖУРИ

3. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДИСКРЕТНОЙ (ЦИФРОВОЙ) СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА

Контрольные вопросы

 

Лабораторная работа № 15

Анализ устойчивости

линейных ЦИФРОВЫХ систем управления

 

Цель работы: определить устойчивость линейных стационарных дискретных систем управления на основе билинейного преобразования, критерия устойчивости Джури и метода функций Ляпунова.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

 

Пусть дискретная система управления описывается конечно-разностными уравнениями в пространстве состояний:

 (15.1)

где – вектор состояния размерности n´1,  – вектор входных управляющих воздействий размерности r´1,  – постоянная матрица размера n´n,  – постоянная матрица размера n´r, T – шаг квантования (период дискретизации), k = 0, 1, 2, ¼

Для постоянного шага квантования Т уравнение состояния записывают в следующем виде:

 (15.2)

Характеристическое уравнение системы (15.1) или (15.2) определяется из выражения

 (15.3)

где Е – единичная матрица.

Раскрывая определитель (15.3), получим

 (15.4)

Применяя к уравнению (15.2) Z-преобразование, можно получить описание системы с помощью Z-передаточных функций. В частности, если система с одним входом и одним выходом, то Z-передаточная функция будет иметь следующий вид:

 (15.5)

где  – действительные постоянные коэффициенты.

Для передаточной функции (15.5) условие n ³ m означает ее физическую реализуемость [8].

Характеристическое уравнение системы с описанием (15.5) – это знаменатель передаточной функции, приравенный к нулю, т. е.

 (15.6)

Поделив обе части уравнения (15.6) на an, получим такой же вид уравнения, что и (15.4).

Определение. Линейная стационарная дискретная система устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы  или корни ее характеристического уравнения лежат внутри единичного круга, т. е.

 (15.7)

Условие (15.7) означает, что переходная составляющая решения конечно-разностного уравнения (15.1) стремится к нулю при k ® ¥.

Для определения устойчивости линейных стационарных дискретных систем управления существуют различные методы, в том числе [9]:

·        метод, основанный на вычислении корней характеристического уравнения;

·        алгебраические методы;

·        метод анализа в частотной области;

·        метод функций Ляпунова.

Далее будут рассмотрены алгебраические методы устойчивости и метод функций Ляпунова.

 

1. БИЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

 

Известные критерии устойчивости для линейных непрерывных систем могут быть применены и для дискретных систем, если преобразовать внутренность единичного круга комплексной z-плоскости в левую полуплоскость некоторой новой комплексной переменной w. Взаимосвязь между w- и z- плоскостями осуществляется на основе конформного отображения Мебиуса или билинейного преобразования (или w-преобразования), известного из теории функций комплексного переменного [1, 8, 9]:

 (15.8)

Если характеристическое уравнение исследуемой дискретной системы имеет вид (15.6), т. е.

 (15.9)

то, подставляя z из (15.8) в (15.9), получим

Приводя к общему знаменателю, будем иметь

Из последнего выражения получаем характеристическое уравнение относительно комплексной переменной w:

 (15.10)

Произведенный переход к новой комплексной переменной позволяет использовать методы анализа устойчивости линейных стационарных непрерывных систем (алгебраические, Михайлова, Найквиста, корневой и т. п.) для определения устойчивости дискретной системы [9]. В частности, при использовании критериев устойчивости Рауса или Гурвица следует принимать во внимание характеристическое уравнение (15.10), по коэффициентам которого составляется таблица Рауса или определитель Гурвица.

 

2. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ДЖУРИ

 

Существуют различные формы алгебраического критерия устойчивости дискретной системы, формируемого по коэффициентам характеристического уравнения (15.6), корни которого располагаются в комплексной z-плоскости.

Пусть дано характеристическое уравнение дискретной системы в следующем виде:

 (15.11)

Рассмотрим первую разновидность алгебраического критерия устойчивости, названного в честь американского ученого Э. Джури. Для того чтобы определить, все ли корни характеристического уравнения дискретной системы находятся внутри единичного круга, строят следующую таблицу (табл. 15.1) [9], в которой

 

Таблица 15.1

Таблица Джури

¼

¼

¼

 

¼

 

¼

¼

¼

¼

¼

¼

 

 

 

 

 

В таблице Джури первая и вторая строки – коэффициенты характеристического уравнения (15.11) в прямом и обратном порядке. Третья строка получается умножением второй строки на  и вычитанием произведения из первой. Четвертая строка – это третья строка, записанная в обратном порядке. Схема повторяется до тех пор, пока в последней строке не останется единственный элемент  

Формулировка критерия Джури [9]. Если  и все  положительные, то все корни характеристического уравнения лежат внутри единичного круга. Если среди нет нулевых, то количество отрицательных равно количеству корней вне единичного круга.

Рассмотрим несколько иную формулировку критерия Джури, взятую из [2]. Пусть дан характеристический полином

 (15.12)

Составим табл. 15.2 по следующему правилу. В первой паре строк располагаются коэффициенты характеристического полинома (15.12) в возрастающем порядке индексов a0, a1, ¼, an –1, an, а под ними – в обратном порядке an, an –1, ¼, a1, a0. Элементы следующей пары строк находятся как определители, а именно: первый столбец определителя образуется из элементов двух вышележащих строк следующего столбца, а второй столбец имеет в первой строке множитель l1, а во второй – единицу. Здесь также сначала располагаются вычисленные коэффициенты с возрастающим порядком индексов, а затем – в обратном порядке.

Величины l1, l2, ¼, ln находятся как отношения элементов двух вышележащих строк второго столбца, и каждая l вычисляется на пару строк. Условие устойчивости состоит в том, чтобы все элементы первого столбца l1, l2, ¼, ln по абсолютной величине были меньше единицы, т. е.

| li | < 1. (15.13)

Таблица 15.2

Таблица Джури

 

a0

a1

¼

an-1

an

an

an-1

¼

a1

a0

 

¼

 

0

¼

0

 

¼

 

0

 

¼

0

 

¼

¼

¼

¼

 

 

 


1 2 3 Вперед »

© МГУ им. Н. П. Огарева. Все права защищены